Les réglettes de Cuisenaire ? Rencontre exclusive !

Les réglettes de Cuisenaire forment un ensemble de dix « bâtonnets » utilisées pour l'apprentissage du calcul mathématique, idéalement en primaire. En particulier pour développer la connaissance des nombres et des quatre opérations de base. Et bien plus encore. Mais avant de détailler leurs atouts pour le calcul mathématique, voyons un peu ce qui les caractérise.

Plaisir des nombres - Présentation des réglettes de Cuisenaire en vrac

Les premières réglettes sont apparues en 1954, pour le calcul mathématique à l'école primaire. Georges Cuisenaire (lire sa biographie), qui fut enseignant toute sa vie, a été confronté aux difficultés d'apprentissage des nombres et du calcul mathématique par les jeunes enfants. Rappelons qu'il a commencé sa carrière en 1920. À cette époque il s'agit d'instruction publique (et pas d'éducation nationale comme aujourd'hui) et les enfants savent additionner, soustraire, multiplier et diviser les nombres à trois chiffres, les nombres décimaux et les fractions à la fin de l'école élémentaire.
Alors voici l'aboutissement de sa recherche pendant trente ans.

Les réglettes de Cuisenaire : première rencontre

Pourquoi sont-elles si efficaces ? Leur structure même le permet. Voyons cela.

   Les réglettes de Cuisenaire ont une largeur : toutes les sections sont identiques, 1 cm x 1 cm. Ce qui permet « d’oublier » ce paramètre, d’en faire abstraction. Du moins au début car identique et donc comparable pour toutes les réglettes. Pour s’en préoccuper ensuite, lorsque l’étude des nombres se fait en parallèle de la mesure des grandeurs, et notamment des cubes.

   Les réglettes de Cuisenaire ont une longueur : voici l’attribut le plus important. En fait, tout le travail avec les réglettes passe, pendant une longue période, par la manipulation de ces longueurs. Contrairement à ce que la plupart des utilisateurs pensent, elles ne sont pas reliées à des valeurs numériques et ne doivent pas l’être de façon artificielle dès le départ.

Elles vont au contraire, permettre de raisonner sans valeur numérique. Elles symbolisent une quantité, par leur longueur. Cette quantité devient concrètement manipulable car on peut le prendre dans la main.

La manipulation est primordiale pour tous, et particulièrement pour les enfants dont le cerveau fonctionne encore de façon étroitement liée aux mains.

Les réglettes de Cuisenaire ont une couleur

Plaisir des nombres - Presentation des réglettes - Couleurs

Georges Cuisenaire a souhaité ajouter une dimension visuelle pour distinguer et associer les réglettes un clin d’œil. En effet, après tâtonnement, il s’est fixé sur des familles de couleurs : rouge-rose-marron, bleu-vert, jaune-orange, noir et blanc.

   Ces familles ont un sens. Ces couleurs permettent de voir les propriétés ou relations particulières qu’entretiennent certains nombres entre eux. Comme multiples/diviseurs, pair/impair, premier...

Ainsi, la rose a une longueur double de la rouge et moitié de la marron. La rouge est donc le quart de la marron. D’autre part, la famille bleu-vert, n’est pas reliée à la première famille par des nombres entiers. Mais la vert clair est la moitié de la vert foncé, et le tiers de la bleue. Enfin, la jaune et la orange sont reliées par un rapport 2, sans que la jaune ne soit reliée par un rapport simple et entier aux deux autres familles.

Finalement, les deux réglettes un peu particulières : l’une qui s’intègre dans toutes les familles, et a une relation entière avec toutes les autres est la blanche (puisque le blanc est la superposition de toutes les couleurs…). Et puis bien sûr, la dernière réglette non citée, qui se distingue des autres familles, ne s’intègre pas facilement et préfère être la première de sa propre famille : c'est la noire.

Voilà, par conséquent, comment, au premier regard, on a visuellement une relation très claire entre les premiers nombres.

Deux noms pour les réglettes

Les réglettes de Cuisenaire ont deux « noms ». Au début des manipulations, les réglettes n’ont pas de valeur numérique. Elles sont nommées par leurs couleurs et à l’écrit, lorsque c’est nécessaire, désignées par l’initiale de leur couleur.

D’ailleurs, ça ne pose pas autant de problème, pour des enfants de début de primaire, de travailler avec des lettres que ça n’en pose actuellement pour les collégiens et collégiennes.

Par ailleurs, ce travail sans valeur numérique est vraiment fondateur et ne doit pas être évacué. Pourquoi cette étape ? Pour tirer pleinement parti de leur potentiel : voir et comprendre, manipuler et s’approprier les rapports entre les nombres, qui part des propriétés pour aboutir aux calculs.

L'important...
Les réglettes donnent accès aux rapports entre les nombres et à leurs propriétés, quelque soit leur valeur numérique. elles permettent d’accéder à des ensembles structurés.

Ainsi, ce travail permet d’introduire l’abstraction nécessaire à l’étude ultérieure des mathématiques. Car travailler sur les rapports, sans valeur numérique, donne accès à ce qui est général, à ce qui ne dépend pas d’un système numérique particulier.

L'important...
Elles permettent de développer un esprit mathématique, qui par essence, cherche constamment à regrouper ce qui peut l’être, et à généraliser les propriétés observées sur un cas particulier.

Et puis, à un moment donné, une valeur numérique est utilisée pour chaque réglette.

Un nombre dans un système

   Cette valeur numérique est donnée pour chaque réglette en référence aux autres. Par conséquent, selon la réglette de référence, le système numérique est différent. Comme les rapports sont toujours vrais, quelque soit le système numérique choisi, les relations rencontrées et le travail effectué peut être revu, cette fois avec des nombres.

Ce qui permet de fixer les relations entre les nombres et non les nombres eux-mêmes. Car, par exemple, un demi correspond toujours à la moitié du double, quelque soit le système dans le lequel on travaille.

Le but des mathématiques est de déterminer les grandeurs les unes par les autres, d'après les relations précises qui existent entre elles.Auguste Comte, mathématicien

Différents systèmes

On aborde ainsi les systèmes d’écriture de position où chaque chiffre traduit à l’écrit le nombre de fois que la base choisie est utilisée dans le nombre étudié. Ainsi, en base 3, par exemple, la vert clair se traduit à l’écrit 10, c’est-à-dire une fois la base et pas d’unité. Or, la vert foncé s’écrit 20, c’est-à-dire deux fois la base (vert clair) et pas d’unité. Et le rapport entre les deux réglettes vertes est toujours le même.

Ensuite, par exemple, la marron se traduit à l’écrit 22 (deux bases plus deux unités) et la bleue 30. On voit donc que la traduction à l’écrit dépend du système choisi, mais le rapport entre les nombres est toujours le même : la bleue vaut toujours trois vert clair. L’opération qui permet d’obtenir 30 à partir de 10, en base 3 est donc la même que celle qui permet d’obtenir 9 à partir de 3 en base 10.

Les propriétés et les opérations acquièrent donc un statut indépendant de la base dans laquelle on raisonne. Ce qui ouvre la voie à une généralisation, but constant des réflexions mathématiques.

Bien sûr, assez rapidement, il est nécessaire d’aborder plus précisément le système décimal. Alors, la plus petite, la blanche, est désignée comme l'unité. Par rapport à celle-ci, les autres vont prendre les valeurs deux, trois, quatre.... Mais tout ce qui a été découvert auparavant est toujours valable. Il y a moins d’effort de mathématisation à faire.

Particularité : créer une image mentale

   Ces attributs font du matériel Cuisenaire un ensemble tout à fait particulier, qui n’a absolument rien à voir avec du matériel de comptage. Lorsque l’on compte avec des jetons, des billes ou des perles, tous les éléments sont identiques. Pour reconnaître un double, il faut compter les perles dans un ensemble et compter les perles dans l’autre ensemble.

   Alors que les réglettes fonctionnent sur un autre principe. Les différences particulières qui existent entre elles permettent au contraire de symboliser les opérations et les propriétés des nombres. De s'en faire des images mentales directement, sans passer par une autre opération ou calcul mathématique. Par exemple, la réglette rose est deux fois plus longue que la rouge. En comparant les longueurs d'une rose et deux rouges, on voit le double visuellement. On voit la moitié en même temps. Il n'y a pas d'autre étapes pour reconnaître le double et la moitié, il suffit de regarder, pas de compter et/ou additionner.
   L'image mentale résultante est immédiate et durable. Immédiate car il n'y a pas d'autres connaissances à appeler pour voir la relation qu'une notion de comparaison des longueurs. Et durable, car cette image est le résultat d'une information venue des yeux et du toucher.

   Et en suivant un cheminement précis, l'enfant ayant d'abord manipulé les réglettes sans les valeurs numériques, puis avec, arrive finalement à se détacher du matériel concret pour penser les relations mathématiques de façon abstraite. C'est pourquoi leur utilisation suit un cheminement précis.

Plaisir des nombres - Presentation des réglettes - Image mentale

Les nombres sont des libres créations de l'esprit humain.Richard Dedekind, mathématicien

La vie des réglettes de Cuisenaire

Ces réglettes ont eu un immense succès. Dès leur mise en place définitive, M. Cuisenaire a été sollicité par de très nombreux collègues et regroupements de professeurs de mathématiques. Voir le détail sur sa biographie.

Elles ont été utilisées par des centaines d'enseignants à travers le monde, étudiées à l'université. Et pour couronner leur incroyable efficacité, elles ont été, surtout, recommandées par l'Unesco pour l'apprentissage en arithmétique. Car des milliers d'enfants de primaire comprennent aisément et retiennent sans difficultés et longtemps les bases des mathématiques. Ils assimilent des notions qui ne sont, en France, présentées qu'au collège.

Qu'est-ce qui rend les réglettes si efficace ?

Je détaille leurs atouts dans la suite de cet article : c'est par ici !

Plaisir-des-nombres - Que pensez-vous de cette présentation des réglettes ?

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