Définition et sens mathématiques

Plaisir des nombres - Quelques questions de définition en mathématique. Pendant les accompagnements, vous rencontrerez des mots spécifiques, relatifs aux propriétés des nombres. Mais pour arriver à maîtriser ces propriétés, il faut d'abord savoir de quoi il est question. Percevoir le sens mathématique porté par chaque mot est impératif.

Il ne s'agit donc pas ici, pour chaque terme, d'une définition exhaustive, comme vous pourriez la trouver dans les références ci-dessous, mais de l'essentiel à comprendre : il s'agit ici de percevoir le sens des notions portées par des mots précis.

Pour compléter ces définitions, vous pouvez très utilement vous reporter, par exemple au dictionnaire de Stella Baruk, ou au site wikipedia spécifique de chaque terme.

Addition :

C'est une opération , c'est-à-dire, comme dit S. Baruk, une intention. Celle de compter ensemble. Lorsqu'on traduit à l'écrit en langage mathématique cette intention, on utilise le signe « + ». Écrit comme cela, on obtient la somme de plusieurs termes. Lorsqu'ensuite, on désire connaître le nombre qui, dans le système décimal, traduit cette somme, on calcule cette somme.

On ne peut additionner que des termes de même nature. Imaginez trois pommes et cinq poires dans un panier. Et répondez : combien de pommes voyez-vous ? Combien de fruits voyez-vous ? Vous répondrez d'abord trois car il n'y a que trois objets identiques appelés pommes. Mais huit à la deuxième question, car il y a bien huit objets appelés fruits.

Arithmétique :

Étymologie : du grec arithmos, « nombre » et qui a donné arithmêtikê, « science du nombre ». Sciences qui étudie les relations et les propriétés élémentaires de nombres entiers et rationnels. Du fait de l'évolution des programmes, elle n'est quasiment plus enseignée telle quelle en primaire, mais réapparaît après le lycée et est dans ce cas appelée « théorie des nombres ». En grande partie pour se différencier de l'autre utilisation traditionnelle du terme arithmétique, qui désigne souvent l'art de calculer, de faire des comptes, tout ce qui a trait au quantitatif.

Algèbre :

Étymologie : du latin médiéval algebra, emprunté à l'arabe al-djabr ou al-jabr, « réduction ». Science ou partie des mathématiques qui utilise des lettres à la place des nombres inconnus pour résoudre des ensembles de problèmes en généralisant les résultats de l'arithmétique. En algèbre les problèmes sont mis en équations, ce qui simplifie l'écriture - puisque plusieurs problèmes peuvent être représentés par la même équation - et la pensée - puisqu'en résolvant une seule équation, on trouve la solution de plusieurs problèmes selon la valeur initiale des inconnues.

Définition de l'associativité :

Propriété de certaines opérations, comme l'addition et la multiplication, qui permet d'associer des termes deux-à-deux, sans que le résultat ne change. Ainsi, le calcul de la somme « $2+3+4$ » est la même si je calcule :

d'abord 2+3 et que j'additionne ensuite 4,
en premier 3+4 puis j'additionne ensuite 2
2+4 puis que j'ajoute 3.

En langage mathématique, on traduit cela par l'égalité : $2+3+4=(2+3)+4=2+(3+4)$ .

Définition de la commutativité

Elle désigne une propriété de l'addition et aussi de la multiplication. Dans ces deux opérations, la place des nombres utilisés de part et d'autre du signe n'a pas d'importance et peut être changée. Ainsi, la somme $3 + 4$ peut tout aussi bien s'écrire $4 + 3$ . Et le résultat du calcul reste le même. Pareillement, le produit $5\times2$ peut s'écrire $2\times5$ sans que le calcul en soit modifié.

Critères de divisibilité

Ces critères permettent de savoir, sans rien calculer si un nombre est divisible par un autre. En l'occurrence, les critères les plus utilisés, concernent la division par deux, par trois, par cinq, neuf et dix. Par définition, donc :

est divisible par 2 tout nombre qui contient un certains nombres de pairs. C'est-à-dire un certain nombre de fois le nombre deux. Ces nombres sont deux, quatre, six, huit, dix, douze, quatorze... On remarque facilement une certaine répétition dans l'écriture chiffrée de ces nombres. D'où la règle : tout nombre est pair s'il se termine par 0, 2, 4, 6, ou 8. Par exemple, 125476 peut être simplement divisé par 2.
Divisible par 3 : si la somme de ses chiffres est un multiple de trois. Par exemple 156, car $1+5+6=12$ et douze est un multiple de trois.
Ensuite, divisible par 5 : si le nombre se termine par 0 ou 5.
Divisible par 9 : si la somme de ses chiffres est un multiple de neuf. Par exemple 765, car $7+6+5=18$ et dix-huit est un multiple de neuf.Tout multiple de neuf est aussi un multiple de trois. L'inverse n'est pas vrai.
Divisible par 10 : si le nombre se termine par 0.

Vérifiez tous ces critères dans les tables correspondantes.

Pour être divisible par six, il faut et il suffit d'être divisible par deux et par trois. Pour être divisible par quatre, il faut et il suffit d'être divisible par deux et encore par deux. Et pour être divisible par huit, il faut et il suffit d'être divisible par deux et par quatre. Enfin, tout nombre divisible par neuf, l'est par trois. L'inverse n'est pas vrai.

Définition du double :

Un nombre est le double d’un autre s’il vaut deux fois cet autre nombre. Ainsi, douze est le double de six car en multipliant six par deux, j'obtiens douze. Ces deux nombres sont liés par leur relation de double (douze) et moitié (six).

Définition d'un diviseur :

Le diviseur d’un nombre est lui-même un nombre. Le diviseur d'un nombre, permet de diviser ce nombre en parts égales de façon exacte, c'est-à-dire sans qu’il ne reste rien. Par exemple, quatre est un diviseur de douze car je peux diviser douze en exactement quatre parts égales qui chacune valent trois. Ces deux nombres, douze et quatre, sont liés par leur relation de multiple et diviseur.

Pour savoir si un nombre est divisible par un autre, il existe pour certains nombres, des critères mathématiques précis, dits critères de divisibilité.

Définition de l'essence d'une division :

La division est une opération, c'est-à-dire une intention. Celle de retrouver un des deux facteurs d'un produit dont on connaît un facteur et le produit lui-même. Cette opération est l'inverse de la multiplication. Ainsi, la division permet de répondre à deux questions. En prenant l'exemple des nombres douze, trois et quatre, et sachant que trois multiplié par quatre vaut douze - $12=3times4$ :

Premièrement, si l'on souhaite répartir équitablement (c'est-à-dire en parts égales) le nombre douze en trois parts égales, combien chaque part contiendra-t-elle ? Autrement dit on cherche à savoir ce que contiennent les parts si le nombre de parts est connu. La division de douze en trois parts égales - $12\div3$ - donne la réponse : chaque part contient quatre.
En second, si l'on souhaite, avec le nombre douze, obtenir des parts équitablement remplie par le nombre quatre, combien de parts contiendra le nombre douze ? Autrement dit, on cherche à savoir le nombre de parts si ce qu'elles contiennent est connu. La division de douze par quatre - $12\div4$ - donne la réponse : trois. On met douze en part de quatre, et on obtient trois parts.

Pour les deux questions ci-dessus, la réponse peut également être trouvée en soustrayant le nombre trois du nombre douze quatre fois de suite. Ou le nombre quatre de douze trois fois de suite. Ainsi, la division est une simplification de la soustraction (comme la multiplication en est une de l'addition).

Les nombres de la division sont celui qu'on divise : le dividende ; le nombre qui divise : le diviseur. Son résultat s'appelle le quotient.

Lorsqu'on soustrait plusieurs fois un nombre d'un autre, il se peut que le résultat de la dernière soustraction ne soit pas zéro. Par exemple, si je soustrait le nombre trois du nombre dix-sept : dix-sept moins trois, quatorze, quatorze moins trois, onze, onze moins trois, huit, huit moins trois cinq, cinq moins trois deux. On a soustrait cinq fois et il n'est plus possible, avec des nombre entier d'enlever trois de deux.

Dans ce cas, la relation entre les nombres est : dividende = quotient $\times$ diviseur + reste. Dans notre exemple $17=5\times3 +2$ .

Définition d'une équation :

Une équation est une égalité entre deux expressions dont au moins un des termes est complètement ou partiellement inconnu. Une même égalité peut être vraie pour beaucoup de nombres différents : par exemple, en écriture mathématique, $15+\cdots=\cdots+13=10+\cdots=17=11+\cdots=...$ . Pour simplifier l'écriture et le raisonnement, on utilise alors des lettres : elles remplacent des nombres inconnus et qui peuvent varier. Résoudre une équation consiste donc à trouver toutes les combinaisons de nombres qui permettent à l'égalité d'être vraie.

Notre exemple précédent peut donc se traduire à l'écrit par : $x+15=17$ . Traditionnellement, depuis le 17ième siècle, ce sont les lettres de la fin de l'alphabet (donc, x, y, z) qui désignent ces nombres inconnus, x étant la lettre la plus utilisée.

Définition de la fraction :

La fraction est un outil mathématique très puissant qui apparaît complexe au premier abord, parce qu'il réunit trois notions mathématiques. Celle qui est en général abordée en premier est l'opération. Une fraction est une opération : une division. Ainsi pour calculer une fraction, on calcule une division entre les deux nombres en jeu (voir écriture ci-dessous). Une fraction est donc un nombre. elle vaut le quotient de la division. La particularité - ou la difficulté - des fractions, c'est que le nombre qu'elles représentent peut être - ou ne peut pas être - écrit dans notre système décimal d'écriture des nombres. C'est-à-dire que l'on peut - ou pas - exprimer, par un nombre entier ou décimal, le quotient obtenu : si ce n'est pas possible, il s'agit alors d'une division dans laquelle il y a un reste. Et ce reste est tel que la division ne se termine jamais.

Dans ce cas, on garde l'écriture des deux nombre en jeu dans cette division (le dividende et le diviseur) sans chercher à réaliser le calcul. Par exemple, si je cherche quel nombre est le quotient de onze divisé par neuf, la division n'a pas de fin (essayez-là !). Cette écriture décimale n'est pas possible, la fraction n'est pas exprimée par un nombre entier ou décimal, mais reste non calculée, et reste écrite telle quelle (voir écriture ci-dessous).

Dans ce dernier cas, plutôt que de voir - ou de lire - une division, la fraction est conceptualisée d'une deuxième façon : elle exprime alors le nombre de parts que contient un nombre. Dans notre exemple précédent, la fraction du nombre onze par le nombre neuf exprime alors le nombre de part de neuf que l'on trouve dans onze. On lit alors la fraction différemment (voir lecture) : au lieu de dire onze divisé par neuf (premier sens), on lit onze neuvièmes. C'est la deuxième notion portée par les fractions : la fraction nous dit combien de neuvièmes on trouvera dans onze. La difficulté ici, c'est que la fraction nous le dit, sans le calculer ! Et dans la vie de tous les jours, on utilise des nombres précis. La fraction nous ouvre une autre voie pour penser : on a l'idée de cette quantité sans la connaître par un nombre entier ou décimal. C'est un peu comme si on se mettait à exprimer les quantités de notre quotidien sans l'aide des nombres, mais qu'avec les opérations. Vous diriez par exemple, que vous possédez trois moins deux voitures, ou que vous avez invité quatre fois cinq personnes à votre anniversaire...

Par extension, on applique cette idée à toutes les divisions, même celle dont le quotient est entier ou décimal et pourrait donc être écrit simplement. Ainsi, la fraction douze quarts peut être lue comme le nombre de quarts qu'il y a dans douze. Dans cet exemple, on pourrait écrire et dire le résultat du calcul exactement, mais on est pas obligé de le faire, on peut préférer ne parler qu'avec la fraction.

Par ailleurs, une fraction en mathématique, comme dans la vie, est une partie d'un tout. Le tout, en mathématiques étant un nombre. Une fraction exprime donc la proportion qu'un nombre représente d'un autre nombre. Et permet de calculer et de connaître ces proportions très simplement. Par exemple, quelle fraction représente trois de douze ? Et bien trois est une partie de douze qui vaut exactement un quart. Dans ce cas, quelle fraction obtient-on en prenant deux fois cette partie ? En prenant deux fois le quart de douze, on obtient deux quarts de douze, c'est-à-dire deux fois le nombre trois. C'est une portion déterminée et précise. Encore une fois, on peut calculer le nombre (on obtient le nombre six), ou simplement l'exprimer par la fraction, et on dit, par exemple : considérons deux quarts de douze.

Il est bien sûr évident que, contrairement aux entraînements solaires, cette utilisation de la fraction n'a pas beaucoup de place au quotidien : personne ne dit à son ami « aujourd'hui j'ai parcouru deux quarts de douze kilomètres. » Mais reconnaissons quand même que nous employons encore certaines expressions très claires pour tout le monde comme « trois quarts de tarte » ou « une demi-baguette » ou « un tiers du gigot »...

Écriture :

Une fraction s'écrit de manière à voir et entendre en combien de parts égales on divise un nombre et combien de parts on considère. L'histoire a retenu une notation verticale avec les deux nombres considérés et un trait entre les deux. C'est-à-dire, le nombre qui est divisé (dividende) écrit en haut, un trait de fraction et le nombre qui divise (diviseur) écrit en bas. Par exemple : $4\div5=\frac{4}{5}$ . On a donné des noms spécifiques à ces deux positions pour se rappeler leurs rôles : en haut, le numérateur dit le nombre de part qu'on prend. En bas, le dénominateur dénomme, c'est-à-dire donne son nom à la fraction (voir ci-dessous).

Lecture :

Il y a deux façons pour dire une fraction. La manière la plus générale, aucune exception : on dit le nombre qui est divisé (celui du haut, le numérateur) puis « sur » puis le nombre qui divise (celui du bas, le dénominateur). Par exemple $\frac{3}{9}$ se lit « trois sur neuf ».

Une autre manière, avec trois exceptions : on dit le nombre qui est divisé (celui du haut) puis, à partir du nombre 5, le nombre qui divise (celui du bas) avec la terminaison « -ième ». Ainsi, $\frac{3}{20}$ se lit « trois vingtièmes ». Les exceptions concernent les petits nombres, pour lesquels l'usage en français a retenu des noms spécifiques : demi quand on divise par deux, tiers quand on divise par trois, quart quand on divise par quatre. Alors $\frac{17}{4}$ peut se lire « dix-sept quarts », $\frac{2}{3}$ peut se lire « deux tiers », $\frac{19}{2}$ peut se lire « dix-neuf demis ».

Nombre impair :

Tous les nombres qui ne sont pas multiples de deux. Ou dit autrement qui ne contiennent pas un certain nombre de paires. C'est-à-dire qu'il n'est pas possible de les obtenir en multipliant en nombre entier par deux. En pratique, et en base dix, tous les nombres qui se terminent par 1, 3, 5, 7 et 9.

Nombre pair :

Un nombre pair est un multiple de deux. Ou dit autrement ce nombre contient un certain nombre de paires. C’est-à-dire, par définition, qu'il peut être obtenu en multipliant un nombre entier par deux. En pratique, et en base dix, ce sont tous les doubles et tous les nombres qui se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8.

Définition d'un nombre premier :

Un nombre premier n’a que deux diviseurs, lui-même et le nombre un. Il n’est donc pas multiple d'un autre. Par exemple pour les premiers, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23, 29, 31...

Marin Mersenne (1588-1649). est un religieux français, érudit, mathématicien et philosophe. On lui doit les premières lois de l'acoustique. Il établit concomitamment avec Galilée la loi de la chute des corps dans le vide. Ecclésiastique à la culture encyclopédique et aux centres d'intérêt multiples, Mersenne est une des figures les plus marquantes parmi les érudits de son temps. Sources : wikipedia

Moitié :

La moitié d’un nombre, par définition de ce mot en français, s'obtient en divisant ce nombre en deux parties égales. Et la moitié est l'une de ces parties. C'est-à-dire qu'il faut deux moitiés pour obtenir le nombre initial total. La moitié se dit aussi le demi. Ainsi, par exemple, six est la moitié de (ou le demi de) douze car en divisant douze par deux, on obtient six. Et donc, en multipliant six par deux, on obtient douze. Ces deux nombres sont liés par leur relation de double (douze) et moitié (six).

Multiple :

Le multiple d’un nombre est obtenu en multipliant ce nombre par un entier naturel. Ainsi, douze est le multiple de quatre car en multipliant quatre par un entier (trois) on obtient douze. Ces deux nombres, douze et quatre, sont liés par leur relation de multiple et diviseur.

Multiplication :

C'est l'opération qui simplifie le fait de compter ensemble lorsque c'est toujours le même nombre que l'on veut compter. Ou, lorsque les nombres sont organisés de manière répétitive. Cette opération permet ainsi de trouver le résultat de l'addition d'un nombre à lui-même un certain nombre de fois. Par exemple, le produit « quatre fois cinq ou cinq multiplié par quatre » permet de connaître plus rapidement le résultat de l'addition de cinq plus cinq plus cinq plus cinq.

Les nombres multipliés sont appelés des facteurs. Le nombre répété est traditionnellement nommé le multiplicande (cinq dans notre exemple), celui qui donne le nombre de fois est appelé le multiplicateur (quatre dans l'exemple donné).

Écriture mathématique :

On traduit cette opération à l'écrit en langage mathématique - pour l'exemple précédent - par : $4\times5$ pour quatre fois cinq. Et par $5\times4$ pour cinq multiplié par quatre.

Lecture :

La lecture de la multiplication est sujette à de nombreuses polémiques car elle peut se lire de deux manières. Soit « quatre fois cinq » qui est proche du langage commun. C'est-à-dire « quatre fois le nombre cinq ». C'est l'écriture $4\times5$ .

On rencontre aussi la formule : « cinq multiplié par quatre » toujours pour l'exemple précédent. Cette lecture a l'avantage de faire entendre le nombre qui est multiplié et celui qui multiplie. C'est l'écriture $5\times4$ .

Dans les deux cas, cinq est le multiplicande et quatre le multiplicateur.

Nature du produit :

En mathématique, les nombres ne sont d'aucune nature, le produit n'en a pas non plus, par conséquent. Il n'en va pas de même pour la vie quotidienne.

Ce point est source de nombreuses difficultés. Car contrairement à l'addition ou la soustraction, la multiplication peut se faire avec des facteurs de natures différentes. La nature du produit dépend alors de ce que l'on cherche. Il faut donc en premier comprendre le sens de l'opération dans un cas précis avant de pouvoir l'appliquer.

Si quatre personnes mettent cinq pommes dans un panier, et que nous cherchons le nombre de pommes dans le panier, alors il y a cinq pommes multipliées par quatre (ou quatre fois cinq pommes), donc vingt pommes. La multiplication rend compte de la répétition de l'addition des pommes.
Si trois tables peuvent accueillir sept personnes chacune, ou si sept tables peuvent accueillir trois personnes seulement : il y a trois tables fois sept personnes. Mais aussi, sept personnes fois trois tables. Il y aura dans tous les cas, vingt-et-une personnes en tout, mais pas réparties de la même manière. La multiplication rend compte de l'organisation de la pièce.

Dans certains cas particuliers, la nature du produit peut être une composition des deux natures du multiplicande et du multiplicateur. Ainsi, une longueur (en mètre, par exemple) multipliée par une autre longueur (en mètre aussi) donne une surface (en mètre carré). Ou une vitesse (en mètre par heure) multipliée par un temps (en heure) donnera une information de distance (en mètre).

Plus petit commun multiple, ou ppcm :

Le plus petit multiple commun, est un nombre qui est un multiple de plusieurs autres nombres en même temps. Il est un multiple commun à ces autres nombres. Par exemple 100 est à la fois un multiple de 25 et de 20.

Mais il est aussi le plus petit multiple qui soit commun à ces autres nombres. Dans l'exemple précédent, 25 a d'autres multiples, comme 50 ou 75. Et 20 aussi, bien sûr, comme 40 ou 80. Par ailleurs, ils ont aussi d'autres multiples communs, comme 200 ou 1000. Mais le plus petit qui soit commun au deux est le nombre 100.

Pour trouver ce plus petit commun multiple, il faut passer par la décomposition des nombres en facteurs : on part de l'idée que chaque nombre peut être obtenu par la multiplication d'autres nombres, plus petits. Par exemple, 56 est obtenu par la multiplication de 8 et de 7 et 8 s'obtient lui-même en multipliant 2 par quatre. Et quatre s'obtient aussi par la multiplication de 2 par 2. Alors 56 s'obtient par : $56=7\times2\times2\times2$ .

Pour trouver le plus petit commun multiple de deux (ou plus) nombres, il faut donc chercher celui qui contient exactement tous les facteurs contenus dans ces deux autres (ou plus) nombres. Prenons l'exemple des nombres 15, 18 et 27. Pour trouver leur plus petit commun multiple, suivez ce raisonnement:

Comment se décomposent-ils ? $15=3\times5$ et $18=3\times6=3\times2\times3$ et $27=3\times9=3\times3\times3$ .
comment donc se compose le multiple commun ? Il contient exactement tous les facteurs, et pas plus. Alors, il est composé de $3\times5\times2\times3<span style="font-family: helvetica, arial, sans-serif;">\times3\times3$ . Le ppcm de 15, 18 et 27 est 810.
Pour l'obtenir, il faut donc multiplier chaque nombre par les facteurs qu'il ne contient pas déjà : 15 par $2\times3\times3\times3$ , 18 par $5\times3\times3$ et 27 par $2\times5\times3$ .

Priorité des calculs

Lorsqu'il y a plusieurs opérations en jeu dans un calcul, leurs significations propres oblige à respecter un certain ordre pour opérer. Ainsi, pour ne considérer ici que les quatre opérations élémentaires, l'ordre est le suivant :

le calcul se fait de gauche à droite ;
les parenthèses se calculent d'abord ;
multiplication et division ;
addition et soustraction.

Ce qui signifie que les nombres ou expressions qui entourent les signes $\times$ ou $\div$ sont prioritaires sur ceux qui entourent les signes $+$ et $-$ . Prenons un exemple. Comment calculer l'expression :

$12+6\times3-45\div9+36-4+5\times7-36\div6-63\div7+(3-1)-(5-4)$

Les règles mentionnées ci-dessus imposent :

de calculer de gauche à droite : partons donc du nombre $12$ et en parcourant la ligne, cherchons ce qui doit être calculé en premier ;
les premiers calculs doivent être : $3-1$ et $5-4$ puisqu'ils sont entre parenthèses ;
puis, les multiplications et divisions, de gauche à droite : $6\times3$ puis $45\div9$ puis $5\times7$ puis $36\div6$ enfin $63\div7$ ;
l'expression à calculer devient donc :
$12+18-5+36-4+35-6-9+2-1$
ensuite la ligne se calcule au fur et à mesure de la rencontre des opérations, ou différemment lorsque des associaitons de nombres simplifient le calcul donnent :
$\begin{align*}12+18-5+36-4+35-6-9+2-1&=30-5+36-4+35-6-9+1\\ &=25+35+36+10-10\\ &=60+36\\ &= 96 \end{align*}$

Définition de la soustraction :

C'est l'opération qui traduit l'intention de trouver la différence entre deux nombres ou le complément d'un nombre à un plus grand. La différence, s'écrit avec des termes.

On ne peut soustraire que des termes de même nature.