La division est une opération un peu particulière. En effet, comme les trois autres opérations, addition, soustraction et multiplication, il est toujours possible d’avoir l’intention de diviser. Et de traduire à l'écrit cette intention.

Division écrite et calcul du quotient

Par exemple, je souhaite diviser cent huit par trois. Je peux écrire cette intention sous différente formes. Avec des mots, comme dans la phrase précédente. Ou représentée avec des symboles et des chiffres. Par exemple, une représentation très ancienne, la fraction : $\frac{108}{3}$. Ou sous une forme plus récente (trois cent à quatre cents ans tout de même…) de la division en ligne : $108\div 3$.

Mais, contrairement aux autres opérations, il n’est pas toujours possible de calculer le résultat ni de l’écrire exactement…

Ainsi, tous les nombres peuvent s’écrire de beaucoup de manières différentes. Parmi ces écritures, bien sûr, il y a la plus simple, celle de notre système décimal : 3 ou 12,17 ou 349,5 ou 2758…

Traduction écrite du résultat

Mais cette écriture n’est pas toujours utilisable, car il existe aussi des nombres avec un nombre infini de chiffres après la virgule. Et le calcul d'une division aboutit très souvent à un de ces nombres. Qui, du coup, ne peuvent pas être traduit si simplement. Puisque l'écriture habituelle ne serait pas exacte, cette infinité de chiffres ne pouvant évidemment pas être fixée sur le papier.

Comment faire pour utiliser ces nombres qui sont fort utiles quand même ???

Première solution

Elle est utilisée pour certains nombres très présents en science. Il porte un nom, représenté par un symbole à l'écrit : un exemple fameux est le nombre « pi », noté $\pi$ qui provient de la division du périmètre d'un cercle par son diamètre.

Mais bien sûr, tous les nombres ne peuvent avoir un nom, ce serait impossible de s'en souvenir... Et tous ne sont pas aussi remarquable que $\pi$...

Deuxième solution

Pour les nombres utilisés moins souvent, qui n'ont pas de dénomination particulière. On les écrit dans le système décimal, mais on « résume » la suite de chiffres après la virgule par des points de suspension. Ainsi, par exemple : $26\div9=2,88888888\cdots$.

Parfois on utilise une approximation en remplaçant un des chiffres après la virgule : $26\div9=2,889$ ou $26\div9=2,88888889$ selon la précision recherchée. Ou bien : $79\div3=26,3333\cdots$ que l'on approxime par $79\div3=26,33$ ou par $79\div3=26,333333333$.

Bien entendu, dans ce cas, au sens strictement mathématique, le signe « = » est un abus de transcription, un abus de langage dirions-nous à l'oral. Car il n'y a pas réellement d'égalité entre le nombre de droite et celui de gauche.

Mais cette approximation peut être suffisante dans certaines situations. C'est un exemple caractéristique de la différence entre l'idée mathématique rigoureuse d'un nombre et son usage scientifique.

Par ailleurs, on utilise aussi parfois une notation spéciale si ces chiffres se répètent à l'infini dans le même ordre. Ainsi, $13\div7= 1,857142857142857142\cdots$ écrit comme : $1,\underline{857142}$. Ou parfois, dans certains ouvrages, on surligne : $51\div7=1,857142857142857142...=1,\overline{857142}$.

Pareillement, le signe égal est également ici un « abus de langage » puisqu'il n'y a pas, au sens mathématique, de réelle égalité entre le nombre de droite et celui de gauche...

Troisième solution

La dernière possibilité est, de loin, la plus exacte mathématiquement et la plus simple dans les calculs quotidiens : laisser la division non calculée et utiliser cette écriture comme représentative d'un nombre, qui serait le quotient, si on pouvait l'écrire en système décimal.

Dans ce cas, il s'avère plus intéressant d'écrire une division sous sa forme verticale $\frac{dividende}{diviseur}$ que sous la forme en ligne : $dividende\div diviseur$.

Et vous savez maintenant (si vous avez suivi l'accompagnement) que cette forme s'appelle une fraction et que dans ce cas, les noms des nombres changent : $$\frac{dividende}{diviseur}=\frac{num\acute{e}rateur}{d\acute{e}nominateur}$$

C'est pour cela que les fractions ont été si largement utilisées car ces nombres sont en fait si nombreux, toutes sciences confondues !

Ainsi, par exemple: $\frac{1}{7};\, \frac{1}{6};\, \frac{2}{3};\, \frac{5}{3};\, \frac{7}{9};\, \frac{1}{9};\, \frac{13}{3};\, \frac{64}{3};\, \frac{111}{13};\, \frac{233}{6},\cdots$

Dans ce cas, ces nombres ne peuvent être écrits rigoureusement qu’avec la fraction correspondante.