Quelques mots et leurs définitions

Plaisir des nombres - interrogation Lexique  Pendant les accompagnements, vous rencontrerez des mots spécifiques, relatifs aux propriétés des nombres. Vous trouverez dans le lexique ci-dessous leur définition simple et compréhensible par tous.

Il ne s'agit pas d'une définition exhaustive, comme vous pourriez la trouver dans les références ci-dessous, mais de l'essentiel à savoir...

Pour compléter ces définitions, vous pouvez très utilement vous reporter, par exemple au dictionnaire de Stella Baruk, ou au site wikipedia spécifique de chaque terme.

Addition, Algèbre, Arithmétique, Associativité, Commutativité, Diviseur, (Critères de) divisibilité, Division, Double, Équation, Fraction(Nombre) impair, Moitié, Multiple, Multiplication, (Nombre) pair, (Nombre) premier, Plus petit commun multiple, Priorité des calculs, Soustraction,


Addition :

C'est une opération , c'est-à-dire, comme dit S. Baruk, une intention. Celle de compter ensemble. Lorsqu'on traduit à l'écrit en langage mathématique cette intention, on utilise le signe « + ». Écrit comme cela, on obtient la somme de plusieurs termes. Lorsqu'ensuite, on désire connaître le nombre qui, dans le système décimal, traduit cette somme, on calcule cette somme.

On ne peut additionner que des termes de même nature.

Arithmétique :

Étymologie : du grec arithmos, « nombre » et qui a donné arithmêtikê, « science du nombre ». Sciences qui étudie les relations et les propriétés élémentaires de nombres entiers et rationnels. Du fait de l'évolution des programmes, elle n'est quasiment plus enseignée telle quelle en primaire, mais réapparaît après le lycée et est dans ce cas appelée « théorie des nombres ». En grande partie pour se différencier de l'autre utilisation traditionnelle du terme arithmétique, qui désigne souvent l'art de calculer, de faire des comptes, tout ce qui a trait au quantitatif.

Algèbre :

Étymologie : du latin médiéval algebra, emprunté à l'arabe al-djabr ou al-jabr, « réduction ». Science ou partie des mathématiques qui utilise des lettres à la place des nombres inconnus pour résoudre des ensembles de problèmes en généralisant les résultats de l'arithmétique. En algèbre les problèmes sont mis en équations, ce qui simplifie l'écriture - puisque plusieurs problèmes peuvent être représentés par la même équation - et la pensée - puisqu'en résolvant une seule équation, on trouve la solution de plusieurs problèmes selon la valeur initiale des inconnues.

Associativité :

Propriété de certaines opérations, comme l'addition et la multiplication, qui permet d'associer des termes deux-à-deux, sans que le résultat ne change. Ainsi, le calcul de la somme « $2+3+4$ » est la même si je calcule :

  • d'abord 2+3 et que j'additionne ensuite 4,
  • en premier 3+4 puis j'additionne ensuite 2
  • 2+4 puis que j'ajoute 3.

En langage mathématique, on traduit cela par l'égalité : $2+3+4=(2+3)+4=2+(3+4)$.

Commutativité:

Elle désigne une propriété de l'addition et aussi de la multiplication. Dans ces deux opérations, la place des nombres utilisés de part et d'autre du signe n'a pas d'importance et peut être changée. Ainsi, la somme $3 + 4$ peut tout aussi bien s'écrire $4 + 3$. Et le résultat du calcul reste le même. Pareillement, le produit $5\times2$ peut s'écrire $2\times5$ sans que le calcul en soit modifié.

Critères de divisibilité

Ces critères permettent de savoir, sans rien calculer si un nombre est divisible par un autre. En l'occurrence, les critères les plus utiles, concernent la division par deux, par trois, par cinq, neuf et dix.

  • Divisible par 2 : si le nombre contient un certains nombres de pairs. Autrement dit, s'il se termine par 0, 2, 4, 6, ou 8. Par exemple, 125476 peut être simplement divisé par 2.
  • Divisible par 3 : si la somme de ses chiffres est un multiple de trois. Par exemple 126, car $1+2+6=9$ et neuf est un multiple de trois.
  • Divisible par 5 : si le nombre se termine par 0 ou 5.
  • Divisible par 9 : si la somme de ses chiffres est un multiple de neuf. Par exemple 765, car $7+6+5=18$ et dix-huit est un multiple de neuf.Tout multiple de neuf est aussi un multiple de trois. L'inverse n'est pas vrai.
  • Divisible par 10 : si le nombre se termine par 0.

Vérifiez tous ces critères dans les tables correspondantes.

Pour être divisible par six, il faut et il suffit d'être divisible par deux et par trois. Pour être divisible par quatre, il faut et il suffit d'être divisible par deux et encore par deux. Et pour être divisible par huit, il faut et il suffit d'être divisible par deux et  par quatre.

Double :

Un nombre est le double d’un autre s’il vaut deux fois cet autre nombre. Ainsi, douze est le double de six car en multipliant six par deux, j'obtiens douze. Ces deux nombres sont liés par leur relation de double (douze) et moitié (six).

Diviseur :

Le diviseur d’un nombre est lui-même un nombre. Le diviseur d'un nombre, permet de diviser ce nombre en parts égales de façon exacte, c'est-à-dire sans qu’il ne reste rien. Par exemple, quatre est un diviseur de douze car je peux diviser douze en exactement quatre parts égales qui chacune valent trois. Ces deux nombres, douze et quatre, sont liés par leur relation de multiple et diviseur.

Pour savoir si un nombre est divisible par un autre, il existe des critères, dits critères de divisibilité.

Division :

La division est une opération, c'est-à-dire une intention. La division permet de connaître le nombre de fois qu'un nombre est contenu dans un autre : par exemple, combien de fois quatre est-il contenu dans le nombre douze ? En divisant douze par quatre - en écriture mathématique : $12\div4$ - on apprend que quatre est contenu trois fois dans douze.

Ce que l'on peut traduire par le fait que douze peut être réparti équitablement en trois parts égales qui contiennent chacune le nombre  quatre. Ou bien que s'il est nécessaire de soustraire le nombre trois du nombre douze, on pourra répéter cette opération quatre fois.

Les termes de la division sont le nombre que l'on divise : le dividende ; le nombre qui divise : le diviseur. Son résultat s'appelle le quotient.

Mathématiquement parlant, un division ne contient pas de reste, par définition. Mais depuis longtemps, la notion de division avec reste est enseignée à l'école. Dans ce cas, la relation entre les nombres est : dividende = quotient$\times$diviseur + reste..

Équation :

Une équation est une égalité entre deux expressions dont au moins un des termes est inconnu. Une même égalité peut être vraie pour beaucoup de nombres différents : par exemple, en écriture mathématique, $15+2=\cdots+13=10+\cdots=17=11+\cdots=...$. Pour simplifier l'écriture et le raisonnement, on utilise alors des lettres : elles remplacent des nombres inconnus et qui peuvent varier. Résoudre une équation consiste donc à trouver toutes les combinaisons de nombres qui permettent à l'égalité d'être vraie.

Notre exemple précédent peut donc se traduire à l'écrit par : $x+15=17$. Traditionnellement, depuis le 17ième siècle, ce sont les lettres de la fin de l'alphabet (donc, x, y, z) qui désignent n'importe quel nombre variable.

Plaisir des nombres - Lexique - Fractions par les phasesLuneFraction :

Une fraction en mathématique, comme dans la vie, est une partie d'un tout, d'un nombre. Ou plus précisément, en mathématique, une fraction exprime la proportion qu'un nombre représente d'un autre nombre. Une fraction est donc un nombre. La particularité - ou la difficulté - des fractions, c'est qu'elles peuvent être calculables ou pas. C'est-à-dire que l'on peut - ou pas - exprimer, par un nombre entier ou décimal, cette proportion. Si ce calcul n'est pas possible, la fraction n'est pas exprimée par un nombre mais reste non calculée, comme par exemple onze neuvièmes.

Pour calculer une fraction, si c'est possible, on utilise la division d'un nombre entier par un autre nombre entier.

Écriture :

Une fraction s'écrit de manière à voir  et entendre en combien de parts égales on divise un nombre et combien de parts on considère. L'histoire a retenu une notation verticale avec les deux nombres considérés et un trait entre les deux. C'est-à-dire, le nombre qui est divisé écrit en haut, un trait de fraction et le nombre qui divise écrit en bas. Par exemple : $\frac{4}{5}$. On a donné des noms spécifiques à ces deux positions pour se rappeler leurs rôles : en haut, le numérateur dit le nombre de part qu'on prend. En bas, le dénominateur donne son nom à la fraction (voir ci-dessous).

Lecture :

il y a deux façons pour dire une fraction. La manière la plus générale, aucune exception : on dit le nombre qui est divisé (celui du haut, le numérateur) puis « sur » puis le nombre qui divise (celui du bas, le dénominateur). Par exemple $\frac{3}{9}$ se lit « trois sur neuf ».

Une autre manière, avec trois exceptions : on dit le nombre qui est divisé (celui du haut) puis, à partir du nombre 5, le nombre qui divise (celui du bas) avec la terminaison « -ième ». Ainsi, $\frac{3}{20}$ se lit « trois vingtièmes ». Les exceptions concernent les petits nombres, pour lesquels l'usage en français a retenu des noms spécifiques : demi quand on divise par deux, tiers quand on divise par trois, quart quand on divise par quatre. Alors $\frac{17}{4}$ peut se lire « dix-sept quarts », $\frac{2}{3}$ peut se lire « deux tiers », $\frac{19}{2}$ peut se lire « dix-neuf demis ».

Nombre impair :

Tous les nombres qui ne sont pas multiples de deux. Ou dit autrement qui ne contiennent pas un certain nombre de paires. C'est-à-dire qu'il n'est pas possible de les obtenir en multipliant en nombre entier par deux. En pratique, et en base dix, tous les nombres qui se terminent par 1, 3, 5, 7 et 9.

Nombre pair :

Un nombre pair est un multiple de deux. Ou dit autrement ce nombre contient un certain nombre de paires. C’est-à-dire qu'il peut être obtenu en multipliant un nombre entier par deux. En pratique, et en base dix, ce sont tous les nombres qui se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8.

Nombre premier :

Un nombre premier n’a que deux diviseurs, lui-même et le nombre un. Il n’est donc pas multiple d'un autre. Par exemple 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23, 29, 31...

Plaisir des nombres - Marin_mersenne et les nombres premiers

Marin Mersenne (1588-1649). est un religieux français,  érudit, mathématicien et philosophe. On lui doit les premières lois de l'acoustique. Il établit concomitamment avec Galilée la loi de la chute des corps dans le vide. Ecclésiastique à la culture encyclopédique et aux centres d'intérêt multiples, Mersenne est une des figures les plus marquantes parmi les érudits de son temps. Sources : wikipedia

Moitié :

La moitié d’un nombre s'obtient en divisant ce nombre en deux parties égales. Et la moitié est l'une de ces parties. C'est-à-dire qu'il faut deux moitiés pour obtenir le nombre initial total. La moitié se dit aussi le demi. Ainsi, par exemple, six est la moitié de (ou le demi de) douze car en divisant douze par deux, on obtient six. Et donc, en multipliant six par deux, on obtient douze. Ces deux nombres sont liés par leur relation de double (douze) et moitié (six).

Multiple :

Le multiple d’un nombre est obtenu en multipliant ce nombre par un entier naturel. Ainsi, douze est le multiple de quatre car en multipliant quatre par un entier (trois) on obtient douze. Ces deux nombres, douze et quatre, sont liés par leur relation de multiple et diviseur.

Multiplication :

C'est l'opération qui simplifie le fait de compter ensemble lorsque les nombres sont organisés de manière répétitive. Cette opération permet ainsi de trouver le résultat de l'addition d'un nombre à lui-même un certain nombre de fois. Par exemple, le produit « quatre fois cinq » permet de savoir le résultat de l'addition de $5+5+5+5$.

Les nombres multipliés sont appelés des facteurs. Le nombre répété est traditionnellement nommé le multiplicande (cinq dans notre exemple), celui qui donne le nombre de fois est appelé le multiplicateur (quatre dans l'exemple donné).

Écriture :

On traduit cette opération à l'écrit en langage mathématique par : $4\times5=5\times4$ pour l'exemple précédent.

Lecture :

La lecture de la multiplication est sujette à de nombreuses polémiques car elle peut se lire de deux manières. Soit « quatre fois cinq » qui est proche du langage commun. C'est-à-dire « quatre fois le nombre cinq ». C'est l'écriture $4\times5$.

On rencontre aussi la formule : « cinq multiplié par quatre » toujours pour l'exemple précédent. Cette lecture a l'avantage de faire entendre le nombre qui est multiplié et celui qui multiplie. C'est l'écriture $5\times4$.

Dans les deux cas, cinq est le multiplicande et quatre le multiplicateur.

Nature du produit :

En mathématique, les nombres ne sont d'aucune nature, le produit n'en a pas non plus, par conséquent. Il n'en va pas de même pour la vie quotidienne.

Ce point est source de nombreuses difficultés. Car contrairement à l'addition ou la soustraction, la multiplication peut se faire avec des facteurs de natures différentes. La nature du produit dépend alors de ce que l'on cherche. Il faut donc en premier comprendre le sens de l'opération dans un cas précis avant de pouvoir l'appliquer.

  1. Si quatre personnes mettent cinq pommes dans un panier, et que nous cherchons le nombre de pommes dans le panier, alors il y a cinq pommes multipliées par quatre (ou quatre fois cinq pommes), donc vingt pommes. La multiplication rend compte de la répétition de l'addition des pommes.
  2. Si trois tables peuvent accueillir sept personnes chacune, ou si sept tables peuvent accueillir trois personnes seulement : il y a trois tables fois sept personnes. Mais aussi, sept personnes fois trois tables. Il y aura dans tous les cas, vingt-et-une personnes en tout, mais pas réparties de la même manière. La multiplication rend compte de l'organisation de la pièce.

Dans certains cas particuliers, la nature du produit peut être une composition des deux natures du multiplicande et du multiplicateur. Ainsi, une longueur (en mètre, par exemple) multipliée par une autre longueur (en mètre aussi) donne une surface (en mètre carré). Ou une vitesse (en mètre par heure)  multipliée par un temps (en heure) donnera une information de distance (en mètre).

Plus petit commun multiple, ou ppcm :

Le plus petit multiple commun, est un nombre qui est un multiple de plusieurs autres nombres en même temps. Il est un multiple commun à ces autres nombres. Par exemple 100 est à la fois un multiple de 25 et de 20.

Mais il est aussi le plus petit multiple qui soit commun à ces autres nombres. Dans l'exemple précédent, 25 a d'autres multiples, comme 50 ou 75. Et 20 aussi, bien sûr, comme 40 ou 80. Par ailleurs, ils ont aussi d'autres multiples communs, comme 200 ou 1000. Mais le plus petit qui soit commun au deux est le nombre 100.

Pour trouver ce plus petit commun multiple, il faut passer par la décomposition des nombres en facteurs : on part de l'idée que chaque nombre peut être obtenu par la multiplication d'autres nombres, plus petits. Par exemple, 56 est obtenu par la multiplication de 8 et de 7 et 8 s'obtient lui-même en multipliant 2 par quatre. Et quatre s'obtient aussi par la multiplication de 2 par 2. Alors 56 s'obtient par : $56=7\times2\times2\times2$.

Pour trouver le plus petit commun multiple de deux (ou plus) nombres, il faut donc chercher celui qui contient exactement tous les facteurs contenus dans ces deux autres (ou plus) nombres. Prenons l'exemple des nombres 15, 18 et 27. Pour trouver leur plus petit commun multiple, suivez ce raisonnement:

  1. Comment se décomposent-ils ? $15=3\times5$ et $18=3\times6=3\times2\times3$ et $27=3\times9=3\times3\times3$.
  2. comment donc se compose le multiple commun ? Il contient exactement tous les facteurs, et pas plus. Alors, il est composé de $3\times5\times2\times3\times3\times3$. Le ppcm de 15, 18 et 27 est 810.
  3. Pour l'obtenir, il faut donc multiplier chaque nombre par les facteurs qu'il ne contient pas déjà : 15 par $2\times3\times3\times3$, 18 par $5\times3\times3$ et 27 par $2\times5\times3$.

Priorité des calculs

Lorsqu'il y a plusieurs opérations en jeu dans un calcul, leurs significations propres oblige à respecter un certain ordre pour opérer. Ainsi, pour ne considérer ici que les quatre opérations élémentaires, l'ordre est le suivant :

  1. le calcul se fait de gauche à droite ;
  2. multiplication et division ;
  3. addition et soustraction.

Ce qui signifie que les nombres ou expressions qui entourent les signes $\times$ ou $\div$ sont prioritaires sur ceux qui entourent les signes $+$ et $-$. Prenons un exemple. Comment calculer l'expression :

$$12+6\times3-45\div9+36-4+5\times7-36\div6-63\div7$$

Les règles mentionnées ci-dessus imposent :

  1. de calculer de gauche à droite : partons donc du nombre $12$ et en parcourant la ligne, cherchons ce qui doit être calculé en premier;
  2. les premiers calculs doivent être : $6\times3$ puis $45\div9$ puis $5\times7$ puis $36\div6$ enfin $63\div7$;
  3. l'expression à calculer devient donc : $$12+18-5+36-4+35-6-9$$
  4. les derniers calculs, toujours de gauche à droite donnent : \begin{align*}12+18-5+36-4+35-6-9&=30-5+36-4+35-6-9\\ &=25+36-4+35-6-9\\ &=61-4+35-6-9\\ &= 57+35-6+9\\ &=92-6+9\\&=97 \end{align*}

Soustraction :

C'est l'opération qui traduit l'intention de trouver la différence entre deux nombres ou le complément d'un nombre à un plus grand. La différence, s'écrit avec des termes.

On ne peut soustraire que des termes de même nature.

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