Quelques mots et leurs définitions

Plaisir des nombres - interrogation Lexique  Pendant l'accompagnement, vous rencontrez des mots spécifiques, relatifs aux propriétés des nombres. Vous trouverez dans le lexique ci-dessous leur définition simple et compréhensible par tous.

Il ne s'agit pas d'une définition exhaustive, comme vous pourriez la trouver dans les références ci-dessous, mais d'une sorte de pense-bête...

Pour compléter ces définitions, vous pouvez très utilement vous reporter, par exemple au dictionnaire de Stella Baruk, ou au site wikipedia spécifique de chaque terme.

Addition, Algèbre, Arithmétique, Associativité, Commutativité, Diviseur, Division, Double, Équation, Fraction(Nombre) impair, Moitié, Multiple, Multiplication, (Nombre) pair, (Nombre) premier, Soustraction,


Addition :

C'est l'opération qui permet de calculer ce que l'on obtient lorsqu'on ajoute plusieurs nombres entre eux. Le résultat est une somme, les nombres additionnés sont appelés des termes.

On ne peut additionner que des termes de même nature.

Arithmétique :

Étymologie : du grec arithmos, « nombre » et qui a donné arithmêtikê, « science du nombre ». Sciences qui étudie les relations et les propriétés élémentaires de nombres entiers et rationnels. Du fait de l'évolution des programmes, elle n'est quasiment plus enseignée telle quelle en primaire, mais réapparaît après le lycée et est dans ce cas appelée « théorie des nombres ». En grande partie pour se différencier de l'autre utilisation traditionnelle du terme arithmétique, qui désigne souvent l'art de calculer, de faire des comptes, tout ce qui a trait au quantitatif.

Algèbre :

Étymologie : du latin médiéval algebra, emprunté à l'arabe al-djabr ou al-jabr, « réduction ». Science ou partie des mathématiques qui utilise des lettres à la place des nombres inconnus pour résoudre des ensembles de problèmes en généralisant les résultats de l'arithmétique. En algèbre les problèmes sont mis en équations, ce qui simplifie l'écriture - puisque plusieurs problèmes peuvent être représentés par la même équation - et la pensée - puisqu'en résolvant une seule équation, on trouve la solution de plusisuers problèmes selon la valeur initiale des inconnues.

Associativité :

Propriété de certaines opérations, comme l'addition et la multiplication, qui permet d'associer des termes deux-à-deux, sans que le résultat, somme ou produit, ne change. Ainsi, la somme obtenue par 2+3+4 est la même si je calcule :

  • d'abord 2+3 et que j'additionne ensuite 4,
  • en premier 3+4 puis j'additionne ensuite 2
  • 2+4 puis que j'ajoute 3.

Commutativité:

Elle désigne une propriété de l'addition et aussi de la multiplication. Dans ces deux opérations, la place des nombres utilisés de part et d'autre du signe n'a pas d'importance et peuvent être changé. Ainsi, 3 + 4 donne la même somme que 4 + 3. Et de même, 5$\times$2 donne le même produit que 2 $\times$ 5.

Double :

Un nombre est le double d’un autre s’il vaut deux fois cet autre nombre. Ainsi, 12 est le double de 6 car en multipliant 6 par 2, j'obtiens 12. Ces deux nombres sont liés par leur relation de double (12) et moitié (6).

Diviseur :

Le diviseur d’un nombre est lui-même un nombre. Le diviseur du nombre N, par exemple, permet de diviser ce nombre N en parts égales de façon exacte, c'est-à-dire sans qu’il ne reste rien. Par exemple, 4 est un diviseur de 12 car je peux diviser 12 en exactement 4 parts égales qui chacune valent trois. Ces deux nombres, 12 et 4, sont liés par leur relation de multiple et diviseur.

Division :

La division est une opération. Son résultat est le quotient, avec ou sans reste. La division permet de savoir combien de fois un nombre est contenu dans un autre : par exemple, combien de fois quatre est-il contenu dans le nombre douze ? En divisant douze par quatre - en écriture mathématique : $12\div4$ - on apprend que quatre est contenu trois fois dans douze.

Ce que l'on peut traduire par le fait que douze peut être réparti équitablement en trois parts égales qui contiennent chacune le nombre  quatre. Ou bien que s'il est nécessaire de soustraire le nombre trois du nombre douze, on pourra répéter cette opération quatre fois.

Équation :

Une équation est une écriture mathématique qui généralise une égalité afin de représenter tous les nombres qui vérifient cette égalité. Une même égalité peut être vraie pour beaucoup de nombres différents : par exemple, en écriture mathématique, $15+2=4+13=10+7=17=11+6=...$. Pour simplifier l'écriture et le raisonnement, on utilise alors des lettres : elles remplacent des nombres inconnus et qui peuvent varier. En résolvant une équation, on trouve donc toutes les combinaisons de nombres qui permettent à l'égalité d'être vraie.

Notre exemple précédent peut donc se traduire à l'écrit par : $x+y=17$. Traditionnellement, depuis le 17ième siècle, ce sont les lettres de la fin de l'alphabet (donc, x, y, z) qui désignent n'importe quel nombre variable.

Plaisir des nombres - Lexique - Fractions par les phasesLuneFraction :

Une fraction en mathématique, comme dans la vie, est une partie d'un tout (dans la vie), d'un nombre (en mathématique). Ou plus précisément, une fraction exprime la proportion qu'un nombre représente d'un autre nombre. La particularité - ou la difficulté - des fractions, c'est qu'elles peuvent être calculable ou pas. C'est-à-dire que l'on peut - ou pas - exprimer, par un nombre entier ou décimal, cette proportion. Ainsi, la moitié de cent est cinquante. Si ce calcul n'est pas possible, la fraction n'est pas exprimée par un nombre mais par la proportion non calculée, comme par exemple onze neuvième.

Pour calculer une fraction, si c'est possible, on utilise donc la division d'un nombre entier par un autre nombre entier.

Écriture :

Une fraction s'écrit de manière à voir  et entendre en combien de parts égales on divise un nombre et combien de parts on considère. L'histoire a retenu une notation verticale avec les deux nombres considérés et un trait entre les deux. C'est-à-dire, le nombre qui est divisé écrit en haut, un trait de fraction et le nombre qui divise écrit en bas. Par exemple : $\frac{4}{5}$. On a donné des noms spécifiques à ces deux positions pour se rappeler leurs rôles : en haut, le numérateur dit le nombre de part qu'on prend. En bas, le dénominateur donne son nom à la fraction (voir ci-dessous).

Lecture :

il y a deux façons pour dire une fraction. La manière la plus générale, aucune exception : on dit le nombre qui est divisé (celui du haut, le numérateur) puis « sur » puis le nombre qui divise (celui du bas, le dénominateur). Par exemple $\frac{3}{9}$ se lit « trois sur neuf ».

Une autre manière, avec exceptions : on dit le nombre qui est divisé (celui du haut) puis, à partir du nombre 5, le nombre qui divise (celui du bas) avec la terminaison « -ième ». Ainsi, $\frac{3}{20}$ se lit « trois vingtièmes ». Les exceptions concernent les petits nombres, pour lesquels l'usage en français a retenu des noms spécifiques : demi quand on divise par 2, tiers quand on divise par 3, quart quand on divise par 4. Alors $\frac{17}{4}$ peut se lire « dix-sept quarts », $\frac{2}{3}$ peut se lire « deux tiers », $\frac{19}{2}$ peut se lire « dix-neuf demi ».

Nombre impair :

Tous les nombres qui ne sont pas multiples de deux. C'est-à-dire qu'il n'est pas possible de les obtenir en multipliant en nombre entier par deux. En pratique, et en base dix, tous les nombres qui se terminent par 1, 3, 5, 7 et 9.

Nombre pair :

Un nombre pair est un multiple de deux. C’est-à-dire que ce nombre peut être obtenu en multipliant un nombre entier par deux. En pratique, et en base dix, ce sont tous les nombres qui se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8.

Nombre premier :

Un nombre premier n’a que deux diviseurs, lui-même et le nombre un. Il n’est donc pas multiple d'un autre. Par exemple 5, 7...

Plaisir des nombres - Marin_mersenne et les nombres premiers

Marin Mersenne (1588-1649). Les nombres premiers...

Moitié :

La moitié d’un nombre s'obtient en divisant ce nombre en deux parties égales. Et la moitié est l'une de ces parties. C'est-à-dire qu'il faut deux moitiés pour obtenir le nombre initial total. La moitié se dit aussi le demi. Ainsi, par exemple, six est la moitié de (ou le demi de) douze car en divisant douze par deux, on obtient six. Et donc, en multipliant six par deux, on obtient douze. Ces deux nombres sont liés par leur relation de double (douze) et moitié (six).

Multiple :

Le multiple d’un nombre est obtenu en multipliant ce nombre par un entier naturel. Ainsi, douze est le multiple de quatre car en multipliant quatre par un entier (trois) on obtient douze. Ces deux nombres, douze et quatre, sont liés par leur relation de multiple et diviseur.

Multiplication :

C'est l'opération qui permet de trouver le résultat de l'addition d'un nombre à lui-même un certain nombre de fois. Par exemple, le calcul « 5 multiplié par 4 » permet de savoir le résultat de l'addition de $5+5+5+5$.

Le résultat est un nombre appelé le produit, les nombres multipliés sont appelés des facteurs. Le nombre répété est traditionnellement nommé le multiplicande (cinq dans notre exemple), celui qui donne le nombre de fois est appelé le multiplicateur (quatre dans l'exemple donné).

Écriture :

On traduit cette opération à l'écrit en langage mathématique par : $5\times4$ pour l'exemple précédent.

Lecture :

La multiplication se lit traditionnellement par « cinq multiplié par quatre » dans l'exemple précédent. Dans ce cas, cinq est le multiplicande et quatre le multiplicateur. Cette lecture a l'avantage de faire entendre le nombre qui est multiplié et celui qui multiplie.

Il est parfois préféré la lecture « cinq fois quatre » qui apparaît plus proche du langage commun.

Nature du produit :

En mathématique, les nombres ne sont d'aucune nature, le produit n'en a pas non plus, par conséquent. Il n'en va pas de même pour la vie quotidienne.

Ce point est source de nombreuses difficultés. Car contrairement à l'addition ou la soustraction, la multiplication peut se faire avec des facteurs dont les unités sont différentes. La nature du produit dépend alors de ce que l'on cherche. Il faut donc en premier comprendre le sens de l'opération dans un cas concret précis avant de pouvoir l'appliquer.

  1. Si quatre personnes mettent cinq pommes dans un panier, et que nous cherchons le nombre de pommes dans le panier, alors il y a cinq pommes multipliées par quatre (ou mises quatre fois), donc vingt pommes. La multiplication rend compte de la répétition de l'addition des pommes.
  2. Si trois tables peuvent accueillir sept personnes chaucune, ou si sept tables peuvent accueillir trois personnes seulement : il y a trois tables fois sept personnes. Mais aussi, sept personnes fois trois tables. Il y aura dans tous les cas, vingt-et-une personnes en tout, mais pas réparties de la même manière. La multiplication rend compte de l'organisation de la pièce.

Dans certains cas particuliers, la nature du produit peut être une composition des deux natures du multiplicande et du multiplicateur. Ainsi, une longueur (en mètre, par exemple) multipliée par une autre longueur (en mètre aussi) donne une surface (en mètre carré). Ou une vitesse (en mètre par heure)  multipliée par un temps (en heure) donnera une information de distance (en mètre).

Soustraction :

C'est l'opération qui permet de trouver la différence entre deux nombres. Le résultat est un nombre appelé la différence, les nombres soustraits sont appelés des termes.

On ne peut soustraire que des termes de même nature.

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