Quelques techniques de calcul mental, dit calcul rapide

Nous avons vu, dans cet article, pourquoi s’entraîner au calcul rapide est une bonne chose. Il y a, pour cela, différentes techniques, des « astuces » à connaître pour trouver le résultat plus vite et faire du calcul rapide efficace.

Plaisir des nombres - Orage en mer avant de connaître les techniques pour le calcul rapide

Orage en tête avant de connaître les techniques pour le calcul rapide...

Alors bien sûr, il n’y a aucune magie là-dedans, elles proviennent toutes des propriétés des nombres ou des opérations. Mais une fois qu’on a compris, se souvenir simplement de la technique aide considérablement pour le calcul rapide.

Elles peuvent être mélangées ou adaptées selon le calcul à effectuer. Parfois deux règles se suivent pour trouver un résultat sans calcul (ou presque).

Il ne faut pas chercher le résultat immédiat, il faut choisir le meilleur chemin ! C’est-à-dire le plus économe : car le but est bel et bien une économie d’énergie : moins de calcul, moins d’énergie dépensée ! Essayez, vous verrez, c’est très agréable de pouvoir trouver le résultat sans être épuisé juste après !

Dans ce qui suit, vous trouverez un panel non exhaustif d’astuces, les plus usitées. La plupart font naturellement partie de l’apprentissage proposé dans l’accompagnement.

Des calculs écrits sont mis en exemple : ils ne sont là QUE pour rendre explicite ce qui se passe mentalement. Le calcul rapide n’est pas posé !

Les acquis de base pour du calcul rapide efficace

Les techniques présentées se basent sur quelques acquis, peu nombreux, mais tout à fait indispensables.

Voici ce qu’il faut apprendre par cœur par la méthode de votre choix. Et vu la faible quantité à apprendre par cœur, et les bénéfices que l’on peut en tirer, on aurait vraiment tord de s’en priver !

Les compléments aux petits nombres

Voilà donc la première étape : connaître les compléments à 3 : 2 et 1. Les compléments à 4 : 3 et 1, 2 et 2. Puis à 5 : 4 et 1, 3 et 2 etc pour aboutir aux compléments à 10.

Compléments à 10

Cela est tout à fait la base, c’est le cas de le dire, en base 10 : ce sont les relations entre trois nombres, 1 et 9 et 10. Puis 2 et 8 et 10. Et 3 et 7 et 10. Puis 4 et 6 et 10. Enfin 5 et 5 et 10.

Alors, pour chaque trio de nombres, il y a 8 relations :

\begin{array} &1+9=10& &10=1+9& &9+1=10& &10=9+1\\ 10-1=9& &10-9=1& &9=10-1& &1=10-9\end{array}

Toutes ces relations sont équivalentes bien sûr. Cependant, il est important de les avoir toutes en tête car la simplification d’un calcul peut venir d’une forme plutôt que d’une autre.

Par exemple, 51 + 9 on pense tout de suite à 1 + 9 pour trouver 60. Par contre, dans 79 + 1 on fait intervenir 9 + 1 pour trouve 80. Aussi, pour 90 - 1 il vaut mieux passer par (80 + 10) - 1 car là c’est plutôt 10 - 1 qui nous aide pour trouver 89.

Doubles et moitiés

La relation qui relie les nombres de 1 à 19 à leur double ou moitié :

1 et 2 – 2 et 4 – 3 et 6 – 4 et 8 – 5 et 10 – 6 et 12 – 7 et 14 – 8 et 16 – 9 et 18 – 10 et 20.

Que la liste ne vous effraie pas, vous les connaissez déjà. Je rappelle que pour chaque couple, il y a 10 relations :

\begin{array} &1+1=2& &2=1+1& &2-1=1& &1=2-1\\ 1\times2=2& &2=1\times2& &2\div2=1& &1=2\div2\\ 1=\dfrac{1}{2}\times2& &\dfrac{1}{2}\times2=1\\1=\dfrac{2}{2}& &\dfrac{2}{2}=1\end{array}



À savoir pour du calcul rapide, automatisé, réfléchi...

Ces techniques sont toutes connues et ont été enseignées pendant des décennies. Bien sûr les réglettes de Cuisenaire permettent de voir et comprendre d’où viennent ces techniques avant de les apprendre. Ce que l’on travaille beaucoup dans l’accompagnement que je propose.Plaisir Des Nombres - Cadeaux pour le calcul rapide

Ajouter 9, 19, 29...

On ajoute 10, 20, 30... et on enlève 1. Facile ! Ainsi, si l’on écrit ce qui se passe dans la tête lorsqu’on applique cette technique, ça donne : 7 + 9 = 7 + 10 - 1 = 17 - 1 = 16

Transposé à des nombres plus grands, on a 231 + 9=(231 + 10) - 1 = 241 - 1 = 240.

Évidemment, ça va plus vite à le penser qu’à l’écrire.

Entraînement : partez de 99 et ajoutez 9 jusqu’à 270. Et puis changez les nombres de départ et d’arrivée. Puis ajoutez 19.

Retirer 9, 19, 29...

On retire 10, 20, 30... et on ajoute 1. Facile ! Ainsi, si l’on écrit ce qui se passe dans la tête lorsqu’on applique cette technique, ça donne : 538 - 9=(538 - 10) + 1 = 528 + 1 = 529.

L’entraînement rend cette technique très simple.

Entraînement : partez de 450 et enlevez 9 jusqu’à 270. Et puis changez les nombres de départ et d’arrivée. Puis retirez 19.

Ajouter 11, 21, 31...

On ajoute 10, 20, 30... et encore 1. Très simple en vérité.

Par exemple : dans la tête, ça donne : 26 + 11 = 26 + 10 + 1 = 36 + 1 = 37.

C’est bien sûr pareil avec des nombres plus grands. Par exemple, pour 5318 + 11 on décompose  pour calculer simplement 5318 + 10 et on ajoute 1. D'où : 5329.

Évidemment, ça va plus vite à le penser qu’à l’écrire.

Entraînement : partez de 100 et ajoutez 11 jusqu’à 500. Et puis changez les nombres de départ et d’arrivée. Puis ajoutez 21.

Retirer 11, 21, 31...

On retire 10, 20, 30... et encore1.

Par exemple : 37 - 11 = 37 - 10 - 1 = 27 - 1 = 26.

Avec de l’entraînement, ça vient tout seul.

Entraînement : partez de 512 et retirez 11. Et puis changez les nombres de départ et d’arrivée. Puis retirez 21.

Plaisir des nombres - Calcul rapide avec des Jeux de dés

Ajouter deux nombres différents de 1

On passe par les doubles.

Donc double du plus petit nombre +1. Ou double du plus grand -1, selon qu’on est plus à l’aise avec tel ou tel double.

Ce qui donne : 6 + 7 = 6 + (6 + 1) = 6 + 6 + 1 = 12 + 1 = 13. Après un peu d’entraînement, ça fait : 6 + 7 = 6 + 6 + 1 = 12 + 1 = 13, puis 6 + 7 = 12 + 1 = 13.

Ou bien : 8 + 7 = 8 + (8 - 1) = 8 + 8 - 1 = 16 - 1 = 15. Après un peu d’entraînement, ça fait : 8 + 7 = 8 + 8 - 1 = 16 - 1 = 15, puis 8 + 7 = 16 - 1 = 15.

Ajouter deux nombres différents de 2

On passe par le double, encore. Mais cette fois du nombre intermédiaire.

Ce qui donne : 5 + 7 = 6 + 6 = 12. Facile celle-là, n’est-ce pas ?

Addition et passage d’une dizaine

Lorsque le calcul fait passer une dizaine, on utilise les compléments à 10 pour les calculs qui ne relèvent pas des deux cas précédents.

C’est-à-dire qu’en fait, il ne reste plus que quatre cas :

\begin{array} &7+4=7+(3+1)=7+3+1=10+1=11\\ 8+3=8+(2+1)=8+2+1=10+1=11\\ 8+4=8+(2+2)=8+2+2=10+2=12&\\ 8+5=8+(2+3)=8+2+3=10+3=13 \end{array}

Comme toujours en calcul rapide de tête, il y a plusieurs voies possibles : passage par les doubles : $$ 8+5=(5+3)+5=5+5+3=10+3=13$$ ou passage par les tables puisque 8 + 4 peut aussi s'écrire 4 + 4 + 4 ce qui peut se lire 4$\times$3 = 12.

Multiplier par 11

C’est une propriété très aisément vérifiable en posant simplement la multiplication. Il n’y a qu’à savoir additionner de petits chiffres inférieurs à 10. On peut le dire comme ça : pour multiplier par 11 sans calcul, entre les deux chiffres extrêmes du nombre, on écrit le résultat de la somme des chiffres deux à deux en partant de la droite.

Par exemple, prenons $11\times25$ : entre le 2 et 5, on reporte la somme de 2 et 5, donc 7 et le résultat est donc 275.

Ou encore, 11$\times$254 , entre le 5 et le 4, on note leur somme, donc 9. Puis entre le 5 et le 2, on note leur somme, donc 7. Le résultat est alors 2794.

Plaisir Des Nombres - Calcul rapide - multiplication par 11 - a

Plaisir Des Nombres - Calcul rapide - multiplication par 11 - b

Et si la somme dépasse 10 ? Il y a un report de dizaine de droite à gauche, et puis c’est tout.

Par exemple $11\times678$ , entre le 7 et le 8, on écrit leur somme : 15. Alors on note 5 entre les deux. Puis entre le 6 et le 7, la somme est 13. Avec la dizaine de 15, ça fait 14, on note 4 et on ajoute la dernière dizaine au chiffre de gauche, le 6 . Le résultat est donc 7458. Sans calcul.

Plaiir des nombres - Le calcul rapide fatigue un peu.png

Petite pause…

Bon, avec ces quelques techniques, il y a déjà de très nombreux calculs qui ne vous demanderont plus du tout d’effort, après un peu d’entraînement. En effet trois ou quatre calculs – c’est-à-dire entre une et quatre minutes – le soir avant de se coucher, ou le midi en déjeunant, ou le matin sous la douche ou… et voilà !

Maintenant, découvrons une règle qui simplifie tellement la vie, que ce serait vraiment dommage de s’en priver : le calcul rapide de tête commence à gauche. Et pas à droite comme le calcul posé !



Voyons cela.

Multiplier par un nombre de 1 chiffre

Alors, voilà : on commence par la gauche. On multiplie les dizaines d’abord, puis les unités et on additionne le tout.

Allez un exemple : 235$\times$3. On commence par 200$\times$3 = 600 puis 30$\times$3 = 90 et enfin 5$\times$3 = 15. Ce qui donne 600+90+15=705.

Diviser par 2

Et bien encore, on commence par la gauche : on divise les centaines puis les dizaines puis les unités selon le nombre à diviser. Et on additionne les résultats.

Ainsi, 24$\div$2, c’est d’abord 20 divisé par 2, 10 et 4 divisé par 2, 2. Donc 12.

Ou bien 456$\div$2, c’est d’abord 400 divisé par 2, 200. Puis 50 divisé par 2, c’est 25. Enfin 6 divisé par 2, 3. Donc 253.

Multiplier par 5, 50, 500

Une petite règle qui apparaît évidente quand on la dit, mais à laquelle on ne pense pas forcément. On multiplie par 10, 100, 1000 et on divise par 2. Parce que c’est en général plus facile.

Par exemple : 27$\times$5 c’est d’abord 27$\times$10, 270. Puis 270$\div$2, 135 (cf. la règle ci-dessus).

Ou encore : 367$\times$5 c’est d’abord 367$\times$10, 3670. Puis 3670$\div$2, c’est 1500 plus 300 plus 35, donc 1835.

Plaisir des nombres - Calcul rapide à la loupe

Calcul rapide avec les nombres décimaux

Multiplier par 0,2 ou 0,3 ou 0,4…

On multiplie par le nombre puis on divise par 10.

Par exemple : 67$\times$0,3 c’est d’abord (on commence par la gauche) 60$\times$3, 180. Puis 7$\times$3, 21. Et 180 plus 21, donne 201. On a donc 67$\times$0,3 = 201$\div 10$ = 20,1.

Cas particulier $\times$ 0,5 ou 0,25 ou 0,125

Dans ce cas, on divise par 2 ou par 4 ou par 8 (ou par 2, encore par 2 et encore par 2).

Ainsi, 283$\times$0,5 c’est 283 divisé par 2. Le plus facile c’est 282 + 1 divisé par 2 : 100 + 40 + 1=141 et on ajoute 0,5 (1$\div$2). Résultat sans calcul 283$\times$0,5 = 141,5.

Diviser par 0,5

On multiplie par 2. Alors 136$\div$0,5 = 136$\times$2. En reprenant la règle déjà donnée, on obtient 200 + 60 + 12 ou 272.

Diviser par 0,25

On multiplie par 4.

Par exemple 254$\div$0,25 = 254$\times$4. En reprenant la règle déjà donnée, on obtient 800 + 200 + 16 ou 1016.

Calcul rapide pour les opérations

Nous venons de voir les techniques qui permettent le calcul rapide sur les nombres. Voyons à présent des astuces qui simplifient les opérations.

Le calcul rapide et les différences

Voici un principe fondamental, que vous connaissez sûrement, peut-être sans le savoir : si vous ajoutez (ou retirez) un même nombre aux deux termes d’une différence, la différence ne change pas. Donc \begin{array}&10-5=(10+1)-(5+1)=11-6\\10-5=(10+2)-(5+2)=12-7\\10-5=(10-1) -( 5-1) = 9-4\\10-5=...\\13-7=(13-1)-(7-1)=12-6\\13-7=(13-2)-(5-2)=11-5\\13-7=(13+7)-(7+5)=20-12\\13-7=... \end{array}

Bon, jusque là, rien d’incroyable.

Mais alors, pourquoi ne pas se servir de cette propriété ? Donc, si vous devez calculer 12-7, pourquoi ne pas calculer à la place 10-5, puisque c’est le même résultat ? Et c’est plus simple… Donc plus économique !

Alors, si vous rencontrez un calcul comme 133 - 17 et que ça ne vous plaît pas… normal… Alors, ne vous fatiguez pas et transformez : 133 - 17 = (133 + 3) - (17 + 3) = 136 - 20 = 106.

Bon, si vous rencontrez un jour cette autre soustraction : $4001-748$ et bien, regardez-là bien dans les yeux et sortez-lui immédiatement une astuce pour la simplifier. Par exemple : $$4001-748=4003-750=4053-800=4253-1000=3253 $$Aucun calcul à faire – ou plutôt des calculs extrêmement basiques comme ajouter 2 ou 5 ou retirer 1.

En fait...
Transformer une soustraction pour la rendre plus simple : simplifier d’abord, calculer ensuite.

Soustraire de tête d’un nombre « rond » : on commence où on veut !

Soustraire d’un multiple de 10 : 10, 1000, 10000…

Alors, en voilà une bonne nouvelle : en calculant de tête, pour soustraire n’importe quel nombre à un multiplie de 10, on fait une soustraction en partant de la droite, de la gauche, du milieu… bref d’où on veut !

C’est très simple, voyez plutôt ! Pour le nombre le plus à droite, les unités : on cherche le complément à 10. Pour les autres, autant qu’il y en a : on cherche le complément à 9.


Plaisir Des Nombres-Calcul rapide-complément à 10000a

PlaisirDesNombres-Calcul rapide-complément à 10000b

 

PlaisirDesNombres-Calcul rapide-complément à 10000c


Voilà, c’est aussi simple que ça. Allez, appliquons : pouvez-vous calculer de tête 1000 - 597 ? Hummm… pas très sympas. Alors, allons-y, en commençant par la droite : complément à 10 de 7 ? 3. Complément à 9 de 9 ? 0. Et complément à 9 de 5 ? 4. Par conséquent, le résultat est 403.

Bon, et quel est le résultat de 10000 - 99 ? Allons-y en commençant par la gauche, pour changer.
Complément à 9 de 9 ? 0. Puis complément à 10 de 9 ? 1. Le résultat se finit donc par 01 et devant on met autant de 9 que de zéros non utilisés dans la soustraction dans le multiple de 10 : 9901.

Un dernier exemple : 1000000000 - 254. Ouf, pas sympas… Mais facile quand même ! On note au fur et à mesure : complément à 10 de 4 : 6. Complément à 9 de 5 : 4. Et complément à 9 de 2 : 7. Et on ajoute 6 neufs devant : 999999746.

Sans aucun calcul, uniquement des connaissances de base.

Additionner/soustraire un nombre de deux chiffres

On commence toujours par la gauche, parce que c’est plus économique : on additionne/soustrait les dizaines en premier et les unités ensuite.

Par exemple pour additionner 27 et 51, c’est 20 et 50 en premier, 70. Puis 7 et 1, 8. D’où le résultat 78.

Autre exemple pour l’addition : 64 et 37. On voit que 60 et 30 font 90. Et 7 et 4 font 11. Du coup, 90 et 11 (voir technique pour ajouter 11) font 101.

Ou encore 856 moins 42, c’est 856 moins 40, 816. Et moins 2, c'est 814.

La mer est calme pour le calcul rapide avec les bonnes techniques.

Un mental apaisé lors du calcul rapide avec les bonnes techniques.



Dîtes-moi ce que vous pensez de ces techniques. Vous aident-elles ? Ou au contraire, trouvez-vous cela trop compliqué ?

 

Ce que d'autres ont réussi, on peut toujours le réussir.Antoine de Saint-Exupéry

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