Nous avons vu, dans cet article, pourquoi s’entraîner au calcul rapide est une bonne chose. Il y a, pour cela, différentes techniques, des « astuces » à connaître pour trouver le résultat plus vite et faire du calcul rapide efficace.

Alors bien sûr, il n’y a aucune magie là-dedans, elles proviennent toutes des propriétés des nombres ou des opérations. Mais une fois qu’on a compris, se souvenir simplement de la technique aide considérablement pour le calcul rapide.

Elles peuvent être mélangées ou adaptées selon le calcul à effectuer. Parfois deux règles se suivent pour trouver un résultat sans calcul (ou presque).

Il ne faut pas chercher le résultat immédiat, il faut choisir le meilleur chemin ! C’est-à-dire le plus économe : car le but est bel et bien une économie d’énergie : moins de calcul, moins d’énergie dépensée ! Essayez, vous verrez, c’est très agréable de pouvoir trouver le résultat sans être épuisé juste après !

Dans ce qui suit, vous trouverez un panel non exhaustif d’astuces, les plus usitées. La plupart font naturellement partie de l’apprentissage proposé dans l’accompagnement.

Des calculs écrits sont mis en exemple : ils ne sont là QUE pour rendre explicite ce qui se passe mentalement. Le calcul rapide n’est pas posé !

Les acquis de base pour du calcul rapide efficace

Les techniques présentées se basent sur quelques acquis, peu nombreux, mais tout à fait indispensables.

Voici ce qu’il faut apprendre par cœur par la méthode de votre choix. Et vu la faible quantité à apprendre par cœur, et les bénéfices que l’on peut en tirer, on aurait vraiment tord de s’en priver !

Les compléments aux petits nombres

Voilà donc la première étape : connaître les compléments à 3 : 2 et 1. Les compléments à 4 : 3 et 1, 2 et 2. Puis à 5 : 4 et 1, 3 et 2 etc pour aboutir aux compléments à 10.

Compléments à 10

Cela est tout à fait la base, c’est le cas de le dire, en base 10 : ce sont les relations entre trois nombres, 1 et 9 et 10. Puis 2 et 8 et 10. Et 3 et 7 et 10. Puis 4 et 6 et 10. Enfin 5 et 5 et 10.

Alors, pour chaque trio de nombres, il y a 8 relations :

   

Toutes ces relations sont équivalentes bien sûr. Cependant, il est important de les avoir toutes en tête car la simplification d’un calcul peut venir d’une forme plutôt que d’une autre.

Par exemple, 51 + 9 on pense tout de suite à 1 + 9 pour trouver 60. Par contre, dans 79 + 1 on fait intervenir 9 + 1 pour trouve 80. Aussi, pour 90 - 1 il vaut mieux passer par (80 + 10) - 1 car là c’est plutôt 10 - 1 qui nous aide pour trouver 89.

Doubles et moitiés

La relation qui relie les nombres de 1 à 19 à leur double ou moitié :

1 et 2 ; 2 et 4 ; 3 et 6 ; 4 et 8 ; 5 et 10 ; 6 et 12 ; 7 et 14 ; 8 et 16 ; 9 et 18 ; 10 et 20.

Que la liste ne vous effraie pas, vous les connaissez déjà. Je rappelle que pour chaque couple, il y a 10 relations :

   

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À savoir pour du calcul rapide, automatisé, réfléchi...

Ces techniques sont toutes connues et ont été enseignées pendant des décennies. Bien sûr les réglettes de Cuisenaire permettent de voir et comprendre d’où viennent ces techniques avant de les apprendre. Ce que l’on travaille beaucoup dans l’accompagnement que je propose.

Ajouter 9, 19, 29...

On ajoute 10, 20, 30... et on enlève 1. Facile ! Ainsi, si l’on écrit ce qui se passe dans la tête lorsqu’on applique cette technique, ça donne : .

Transposé à des nombres plus grands, on a .

Évidemment, ça va plus vite à le penser qu’à l’écrire.

Entraînement : partez de 99 et ajoutez 9 jusqu’à 270. Et puis changez les nombres de départ et d’arrivée. Puis ajoutez 19.

Retirer 9, 19, 29...

On retire 10, 20, 30... et on ajoute 1. Facile ! Ainsi, si l’on écrit ce qui se passe dans la tête lorsqu’on applique cette technique, ça donne : .

L’entraînement rend cette technique très simple.

Entraînement : partez de 450 et enlevez 9 jusqu’à 270. Et puis changez les nombres de départ et d’arrivée. Puis retirez 19.

Ajouter 11, 21, 31...

On ajoute 10, 20, 30... et encore 1. Très simple en vérité.

Par exemple : dans la tête, ça donne : .

C’est bien sûr pareil avec des nombres plus grands. Par exemple, pour 5318 + 11 on décompose  pour calculer simplement et on ajoute 1. D'où : .

Évidemment, ça va plus vite à le penser qu’à l’écrire.

Entraînement : partez de 100 et ajoutez 11 jusqu’à 500. Et puis changez les nombres de départ et d’arrivée. Puis ajoutez 21.

Retirer 11, 21, 31...

On retire 10, 20, 30... et encore 1.

Par exemple : .

Avec de l’entraînement, ça vient tout seul.

Entraînement : partez de 512 et retirez 11. Et puis changez les nombres de départ et d’arrivée. Puis retirez 21.

Ajouter deux nombres différents de 1

On passe par les doubles.

Donc double du plus petit nombre +1. Ou double du plus grand -1, selon qu’on est plus à l’aise avec tel ou tel double.

Ce qui donne : . Après un peu d’entraînement, ça fait : , puis .

Ou bien : . Après un peu d’entraînement, ça fait : , puis .

Ajouter deux nombres différents de 2

On passe par le double, encore. Mais cette fois du nombre intermédiaire.

Ce qui donne : . Facile celle-là, n’est-ce pas ?

Addition et passage d’une dizaine

Lorsque le calcul fait passer une dizaine, on utilise les compléments à 10 pour les calculs qui ne relèvent pas des deux cas précédents.

C’est-à-dire qu’en fait, il ne reste plus que quatre cas :

   

Comme toujours en calcul rapide de tête, il y a plusieurs voies possibles : passage par les doubles :

   

ou passage par les tables puisque 8 + 4 peut aussi s'écrire ce qui peut se transformer en .

Multiplier par 11

C’est une propriété très aisément vérifiable en posant simplement la multiplication. Il n’y a qu’à savoir additionner des petits nombres inférieurs à 10. En effet, lors de la multiplication par onze, le nombre d'unités initial va devenir le nombre des dizaines (deuxième ligne de l'opération posée. Et le nombre de dizaines, celui des centaines. etc.

On peut le dire comme ça : pour multiplier un nombre à deux chiffres par 11 sans calcul, entre les deux chiffres du nombre, on écrit le résultat de la somme des nombres d'unités et de dizaines.

Par exemple, prenons : entre les chiffres 2 et 5, on reporte la somme des nombres d'unités, 5 et de dizaines, 2. Le résultat contient donc 7 dizaines : 275.

Pour multiplier un nombre contenant des centaines, on continue l'additionvers la gauche : le nombre d'unités additionné au nombre des dizaines, celui des dizaines additionné à celui des centaines. On reporte les résultats entre les chiffres correspondant.

Ainsi, , entre les chiffres 5 et 4, on note la somme du nombre d'unités et de dizaines, donc 9. Que l'on écrit entre ces deux chiffres. Puis entre les chiffres 5 et le 2, on note la somme du nombre de dizaines et de centaines, donc 7. Que l'on écrit entre ces deux chiffres. Le résultat est alors un nombre qui contient 9 dizaines et 7 centaines : 2794.

Et si la somme dépasse 10 ? Il y a un report de dizaine de droite à gauche, et puis c’est tout.

Par exemple  , entre le 7 et le 8, on écrit leur somme : 15. Alors on note 5 entre les deux. Puis entre le 6 et le 7, la somme est 13. Avec la dizaine de 15, ça fait 14, on note 4 et on ajoute la dernière dizaine au chiffre de gauche, le 6 . Le résultat est donc 7458. Sans calcul.

Petite pause…

Bon, avec ces quelques techniques, il y a déjà de très nombreux calculs qui ne vous demanderont plus du tout d’effort, après un peu d’entraînement. En effet trois ou quatre calculs – c’est-à-dire entre une et quatre minutes – le soir avant de se coucher, ou le midi en déjeunant, ou le matin sous la douche ou… et voilà !

Maintenant, découvrons une règle qui simplifie tellement la vie, que ce serait vraiment dommage de s’en priver : le calcul rapide de tête commence à gauche. Et pas à droite comme le calcul posé !

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Voyons cela.

Multiplier par un nombre de 1 chiffre

Alors, voilà : on commence par la gauche. On multiplie les dizaines d’abord, puis les unités et on additionne le tout.

Allez un exemple : . On commence par puis et enfin . Ce qui donne .

Diviser par 2

Et bien encore, on commence par la gauche : on divise les centaines puis les dizaines puis les unités selon le nombre à diviser. Et on additionne les résultats.

Ainsi, , c’est d’abord 20 divisé par 2, 10 et 4 divisé par 2, 2. Donc 12.

Ou bien , c’est d’abord 400 divisé par 2, 200. Puis 50 divisé par 2, c’est 25. Enfin 6 divisé par 2, 3. Donc 253.

Multiplier par 5, 50, 500

Une petite règle qui apparaît évidente quand on la dit, mais à laquelle on ne pense pas forcément. On multiplie par 10, 100, 1000 et on divise par 2. Parce que c’est en général plus facile.

Par exemple : c’est d’abord , . Puis , (cf. la règle ci-dessus).

Ou encore : c’est d’abord , . Puis , c’est plus plus , donc .

Calcul rapide avec les nombres décimaux

Multiplier par 0,2 ou 0,3 ou 0,4…

On multiplie par le nombre puis on divise par 10.

Par exemple : 670,3 c’est d’abord (on commence par la gauche) , . Puis , . Et plus , donne . On a donc .

Cas particulier pour multiplier par 0,5 ou 0,25 ou 0,125

Dans ce cas, on divise par 2 ou par 4 ou par 8 (ou par 2, encore par 2 et encore par 2).

Ainsi, c’est divisé par . Le plus facile c’est divisé par et on ajoute (). Résultat sans calcul .

Diviser par 0,5

On multiplie par 2. Alors . En reprenant la règle déjà donnée, on obtient ou .

Diviser par 0,25

On multiplie par 4.

Par exemple . En reprenant la règle déjà donnée, on obtient ou .

Calcul rapide pour les opérations

Nous venons de voir les techniques qui permettent le calcul rapide sur les nombres. Voyons à présent des astuces qui simplifient les opérations.

Le calcul rapide et les différences

Voici un principe fondamental, que vous connaissez sûrement, peut-être sans le savoir : si vous ajoutez (ou retirez) un même nombre aux deux termes d’une différence, la différence ne change pas. Donc

   

Bon, jusque là, tout va bien.

Mais alors, pourquoi ne pas se servir de cette propriété ? Donc, si vous devez calculer , pourquoi ne pas calculer à la place , puisque c’est le même résultat ? Et c’est plus simple… Donc plus économique !

Du coup, si vous rencontrez un calcul comme et que ça ne vous plaît pas… normal… Eh bien ! ne vous fatiguez pas et transformez : . Ou si vous préférez : 

   

Choisissez la transformation qui vous paraît la plus facile. Car il y en a une infinité, mais elles ne sont pas toutes équivalentes en terme de facilité de calcul :

   

Autre exemple, si vous rencontrez un jour cette autre soustraction : et bien, regardez-là bien dans les yeux et sortez-lui immédiatement une astuce pour la simplifier. Pourquoi pas :

   

ou une autre, comme vous préférez. Aucun calcul à faire – ou plutôt des calculs extrêmement basiques comme ajouter 2 ou 5 ou retirer 1.

Un dernier exemple :

   

Soustraire de tête d’un nombre « rond » : on commence où on veut !

Soustraire d’un multiple de 10 : 10, 1 000, 10 000…

Alors, en voilà une bonne nouvelle : en calculant de tête, pour soustraire n’importe quel nombre à un multiplie de 10, on fait une soustraction en partant de la droite, de la gauche, du milieu… bref d’où on veut !

C’est très simple, voyez plutôt ! Pour le nombre le plus à droite, les unités : on cherche le complément à 10. Pour les autres, autant qu’il y en a : on cherche le complément à 9.

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Voilà, c’est aussi simple que ça. Allez, appliquons : pouvez-vous calculer de tête ? Hummm… pas très sympas. Alors, allons-y, en commençant par la droite : complément à 10 de 7 ? 3. Complément à 9 de 9 ? 0. Et complément à 9 de 5 ? 4. Par conséquent, le résultat est .

Dîtes, quel est le résultat de ? Allons-y en commençant par la gauche, pour changer.
Complément à 9 de 9 ? 0. Puis complément à 10 de 9 ? 1. Le résultat se finit donc par 01 et devant on met autant de 9 que de zéros non utilisés dans la soustraction dans le multiple de 10 donc 9901.

Un dernier exemple : . Ouf, pas très engageant… Mais facile quand même ! On note au fur et à mesure : complément à 10 de 4 : 6. Complément à 9 de 5 : 4. Et complément à 9 de 2 : 7. Et on ajoute 6 neufs devant : .

Sans aucun calcul, uniquement des connaissances de base.

Additionner/soustraire un nombre de deux chiffres

On commence toujours par la gauche, parce que c’est plus économique : on additionne/soustrait les dizaines en premier et les unités ensuite.

Par exemple pour additionner 27 et 51, c’est 20 et 50 en premier, 70. Puis 7 et 1, 8. D’où le résultat 78.

Autre exemple pour l’addition : 64 et 37. On voit que 60 et 30 font 90. Et 7 et 4 font 11. Du coup, 90 et 11 (voir technique pour ajouter 11) font 101.

Ou encore 856 moins 42, c’est 856 moins 40, 816. Et moins 2, c'est 814.

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Dîtes-moi ce que vous pensez de ces techniques. Les connaissiez-vous déjà ? Les appliquez-vous plutôt le matin, ou plutôt le soir ?